《魔物獵人世界》節彈運實際效果數理統計

大樣本節彈數數學期望
抽樣誤差的定義 …
觸發至少70次節彈 …
56發子彈至少發射126次的概率 …
發射126顆子彈需要至多56顆子彈的概率 …
卡方檢驗 …

《魔物獵人世界》節彈運實際效果數理統計

警告：本帖會涉及一些數學知識，覺得有點偏硬核的請謹慎食用。

那麼第一個問題：什麼是節彈運？我們以真節彈為例，解包給出的官方節彈率是30%，也就是說發射一顆子彈有30%的概率不消耗該顆子彈，可認為是等效擴充了彈夾和總彈容。那麼真節彈能為我們的彈夾/總彈容在數學期望上擴增多少呢？

在這裡我們將考慮一個很大的樣本，使得其可以大致看做是系統。也就是說我們發射的子彈足夠多，那麼利用真節彈擴增的彈藥會趨近於哪個值呢。我們不妨把這些「足夠多」的子彈歸一化，看作是一顆子彈，那麼簡單的，我們打出1發子彈的概率是0.7，打出2發子彈的概率是0.3*0.7，打出i發子彈的概率是0.3^（i-1）*0.7。

數學期望就是這些概率和打出子彈數的加權和，計算結果如下，這個計算是簡單的等差數列和等比數列之積的求和以及極限，準備高考的同學可以作為網課練習題手算（不是）。

大樣本節彈數數學期望

可以看到這個值實際上就等於1/0.7，和之前普遍認為的擴容42.9%相符合。

這樣我們就得出結論，在實際戰鬥中，擴容量大於42.9%意味著你的節彈超過了系統平均值，被認為「節彈運強」，小於則是「節彈運弱」，而連動貼的節彈擴增率是126/56=225%，遠遠高於42.9%，那麼是不是可以認為這就一定離譜了呢？還不能！

道理很簡單，大家想一下，如果只有一發子彈，那麼擴容量就算到300%，也就是說打出三發子彈，概率也高達0.3^2*0.7=6.3%，這絕對說不上是離譜。其實大家也應該發現了，這就是樣本量的問題，樣本量越大會導致樣本和系統的偏差越小，越能代表系統也就意味著出現和系統值較大的偏差的概率更低。

這裡科普一下什麼叫抽樣誤差，在這裡我們不考慮抽樣方式帶來的誤差（畢竟遊戲裡射子彈也沒什麼人為的偏向性）。在維基百科的定義是：

抽樣誤差的定義 …

在統計中，當從總體的子集或樣本中估計總體的統計特徵時，會發生抽樣誤差。由於樣本不包括總體的所有成員，因此樣本的統計量（例如均值和四分位數）通常與整個總體的特徵（稱為參數）不同。例如，如果一個人測量一個國家的一百萬人口中一千人的身高，那麼該國的平均身高通常不同於該國所有一百萬人的平均身高。

而這裡的問題則是從總體樣本（因為CAPCOM設定了系統平均值，這是恆定不變的，可以認為系統樣本量=無窮）中抽取了126個樣本，該樣本是否能代表總體呢？答案是，至少在目前的學術界的科研實踐裡面，這樣的樣本量產生的抽樣誤差已經足夠小。

好，那麼接下來我們來討論，連動貼中的「節彈運」是否能夠通過概率計算的方式來衡量呢？

首先我們考慮第一個角度，我們把這個問題看成是「在發射126發子彈中觸發至少70次節彈的概率是多少」，這個問題是復合二項分佈的條件的（具體條件不介紹啦，有興趣可以自己去查一下，到處都有的）因此可以計算：

觸發至少70次節彈 …

概率是十億分之2.2。當然這裡的計算是有點小問題的，因為這樣的計算包含了節彈數少於39的情況——而這是不可能的——因為如果節彈數少於39，那麼總消耗子彈會大於獵人揹包包括調和總共的榴彈上限，因此我們實際需要計算的問題應該是：「在節彈至少觸發39次的情況下，節彈至少觸發70次的概率是多少」，這是典型的條件概率問題，答案就是我們之前計算的概率除以「節彈至少觸發39次的情況」，而直接用這個條件概率也是有問題的，因為這樣等於默認了連動貼的節彈數大於39，相當於白送了一個概率，因此還要再乘「節彈至少觸發39次的概率」，最終結果是不變的。

接下來我們討論第二種角度「給定56發子彈，能發射超過126發子彈的概率是多少」，假設發射的子彈為n, i>=56, 這個問題是典型的插板問題，我們先要把i切分為56個部分，每個部分至少為1，那麼切分情況為C（i-1, 55），每種的概率為C（i-1, 55）*0.3^（n-56）*0.7^（56），累加級數和為：